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相似というのは、「同じ形」という意味で考えてもらえばよいと思います。合同から、大きさの部分を除いたものという感じです。ただ、問題の中身は、かなり違います。
まず、覚えてもらいたいことは、やはり１つだけです。（ここでも、三角形にしぼって、お話しします。）相似であるというための条件は、いくつかあるのですが、必要なのは、「２つの角度が等しければ相似」ということです。 本当は、三角形である以上、３つの角度ということになるのですが、３つあるうち、２つが同じだったら、残る１つも自動的に同じということになります。
相似の問題では、相似形を探すという作業がポイントになります。その際に、同じ角度を２つ見つければよいわけですから、「１２．角度」の内容を結構使うことになります。 特に、「平行線」は重要です。私自身、「相似形を探すときには、平行線を探せ」と言うことがよくあります。
実際の問題では、「相似であることを証明せよ」というタイプではなく、「相似比を使って長さを求める」というものが多くなっています。
それでは、具体的に問題を見てみましょう。
問題演習その１
解答・解説
①「長さ」には、「三平方」か「相似」です。
この場合には、三平方は使えそうにありませんから、
「相似」でほぼ決まりです。
相似の場合には、まず相似形を探すことから始まります。
平行線がありますから、錯角が使えそうです。
∠ＡＣＤ＝∠ＢＤＣ（錯角）
∠ＣＡＢ＝∠ＤＢＡ（錯角）
以上から、△ＡＯＣ∽△ＢＯＤ（∽は、相似を表す記号です。）
アルファベットの順番に注意してください。
求めたいＯＣをＸとすると、
Ｘ：５（ＯＤ）＝９（ＡＣ）：６（ＤＢ）
６Ｘ＝４５
Ｘ＝１５／２
答え：ＡＣ＝１５／２（または、７．５）ｃｍ
②ここでは、平行線がありませんが、問題文に
∠ＡＢＣ＝∠ＡＥＤとありますから、素直に使いましょう。
∠Ａは共通
∠ＡＢＣ＝∠ＡＥＤ（条件より）
よって、△ＡＢＣ∽△ＡＥＤ
アルファベットの順番に注意してください。
求めたいＥＣをＸとすると、
（５＋Ｘ）：４＝１０：５
（５＋Ｘ）はＡＣ、４はＡＤ、１０はＡＢ、５はＡＥです。
△ＡＢＣ∽△ＡＥＤより、ＡＣ（△ＡＢＣ）に対応するのは、ＡＤ（△ＡＥＤ）
同様に、ＡＢ（△ＡＢＣ）に対応するのは、ＡＥ（△ＡＥＤ）です。
５（５＋Ｘ）＝４０
これを解くと、Ｘ＝３
答え：ＥＣ＝３ｃｍ
問題演習その２
解答・解説
③このようなケース（大きな三角形の中に小さな三角形があり、底辺が平行）では、迷うことなく相似です。
ただ気をつけてほしいのは、あくまで△ＡＢＣ∽△ＡＤＥということです。
要するに、問題文に、ＡＢ＝６ｃｍ、ＢＤ＝２ｃｍとあるからといっても、
相似比は、６：２ではなくて、６（ＡＢ）：８（ＡＤ）＝３：４ということです。
求めたいＤＥをＸとすると、
９：Ｘ＝３：４
３Ｘ＝３６
Ｘ＝１２
答え：ＤＥ＝１２ｃｍ
④この問題は、意外とやっかいなものです。
相似になっている組合せが、いくつかあるからです。
△ＡＢＣ∽△ＤＣＥ・・・（１）
△ＢＣＦ∽△ＢＥＤ・・・（２）
△ＤＣＦ∽△ＤＡＢ・・・（３）
この中で、求めたいＣＦが含まれているのは、（２）（３）なのですが、
（２）だけ、あるいは（３）だけでは、解くことができません。
ということで、まず△ＡＢＣと△ＤＣＥに注目してください。
とりあえず、他の部分は無視してください。（目障りですけど。）
相似比は、４：６＝２：３です。
よって、ＣＢ：ＣＥ＝２：３となります。
これは、ＢＣ：ＣＥ＝２：３としても同じです。
続いて、今度は△ＢＣＦと△ＢＥＤに注目してください。
（頭の切り換えをお願いします。）
ＢＣ：ＣＥ＝２：３でしたから、
ＢＣ：ＢＥ＝２：５ となります。
よって、△ＢＣＦと△ＢＥＤの相似比は、２：５です。
求めたいＣＦをＸとすると、
Ｘ：６＝２：５
５Ｘ＝１２
Ｘ＝１２／５（あるいは、２．４）
答え：１２／５（あるいは、２．４）ｃｍ
この問題は、全体をながめていると、わけがわからなくなると思います。
「長さ」の問題だから、「三平方」か「相似」。
ここでは、「三平方」は使えそうにないから「相似」。
「相似」だったら、とにかく相似形を探す（見つける）。
そういう考え方で、アプローチしたほうがよさそうです。
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