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三平方の定理は、主に「長さ」を求める場合に使うことの多いものです。
覚えることは、あまりありませんから、気持ちを楽にしてお読みください。
＜三平方の定理＞
直角三角形で、斜辺をａ、他の２辺をｂ、ｃとした場合
①ａ２＝ｂ２＋ｃ２ 下図の①
直角三角形で、直角以外の角が４５°である場合
②３つの辺の比は、１：１：√２ 下図の②
直角三角形で、直角以外の角が３０°、６０°である場合
②３つの辺の比は、１：２：√３ 下図の③
基本問題演習その１
①～⑤は、すべて、ＡＢを斜辺とする直角三角形です。
①ＡＣ＝３ｃｍ、ＢＣ＝４ｃｍのときＡＢの長さを求めよ。
②ＡＣ＝５ｃｍ、ＢＣ＝１２ｃｍのとき、ＡＢの長さを求めよ。
③ＡＣ＝１ｃｍ、ＢＣ＝３ｃｍのとき、ＡＢの長さを求めよ。
④ＡＢ＝５√２ｃｍ、ＢＣ＝７ｃｍのとき、ＡＣの長さを求めよ。
⑤ＡＢ＝７ｃｍ、ＢＣ＝５ｃｍのとき、ＡＣの長さを求めよ。
⑥２点（２，３）（５，７）の距離を求めよ。
⑦２点（１，４）（４，７）の距離を求めよ。
解答・解説
①ＡＢ＝Ｘとすると、ＡＢは斜辺ですから、
Ｘ２＝３２＋４２
Ｘ２＝２５
Ｘ＝±√２５
Ｘ＝±５
Ｘ＝５（長さなので、Ｘ＞０）
答え：５ｃｍ
②ＡＢ＝Ｘとすると、ＡＢは斜辺ですから、
Ｘ２＝５２＋１２２
Ｘ２＝１６９
Ｘ＝±√１６９
Ｘ＝±１３
Ｘ＝１３（長さなので、Ｘ＞０）
答え：１３ｃｍ
③ＡＢ＝Ｘとすると、ＡＢは斜辺ですから、
Ｘ２＝１２＋３２
Ｘ２＝１０
Ｘ＝±√１０
Ｘ＝√１０（長さなので、Ｘ＞０）
答え：√１０ｃｍ
④ＡＣ＝Ｘとすると、ＡＣは斜辺ではありませんから、
Ｘ２＋７２＝（５√２）２
Ｘ２＝１
Ｘ＝±√１
Ｘ＝±１
Ｘ＝１（長さなので、Ｘ＞０）
答え：１ｃｍ
⑤ＡＣ＝Ｘとすると、ＡＣは斜辺ではありませんから、
Ｘ２＋５２＝７２
Ｘ２＝２４
Ｘ＝±√２４
Ｘ＝±２√６
Ｘ＝２√６（長さなので、Ｘ＞０）
答え：２√６ｃｍ
⑥２点間の距離をＸとすると、
Ｘを斜辺とする直角三角形を考えることができます。
この場合、他の２辺の長さは、それぞれ、
Ｘ座標の差、Ｙ座標の差として求められます。
よって、他の２辺の長さは、３（＝５－２）、４（＝７－３）です。
Ｘ２＝３２＋４２
Ｘ２＝２５
Ｘ＝±√２５
Ｘ＝±５
Ｘ＝５（長さなので、Ｘ＞０）
答え：５
⑦この問題も同様に、２点間の距離をＸとすると、
Ｘを斜辺とする直角三角形を考えることができます。
この場合、他の２辺の長さは、それぞれ、
Ｘ座標の差、Ｙ座標の差として求められます。
よって、他の２辺の長さは、３（＝４－１）、３（＝７－４）です。
Ｘ２＝３２＋３２
Ｘ２＝１８
Ｘ＝±√１８
Ｘ＝±３√２
Ｘ＝３√２（長さなので、Ｘ＞０）
答え：３√２
基本問題演習その２
①～③は、すべて、ＡＢを斜辺とする直角三角形です。
①∠ＡＢＣ＝３０°、ＡＣ＝３ｃｍのとき、ＡＢの長さを求めよ。
ただし、ＢＣ＞ＡＣとする。
②∠ＡＢＣ＝４５°、ＡＢ＝４ｃｍのとき、ＡＣの長さを求めよ。
③∠ＡＢＣ＝６０°、ＡＢ＝６ｃｍのとき、ＡＣの長さを求めよ。
ただし、ＢＣ＜ＡＣとする。
解答・解説
①ここでは、１：２：√３ を使います。
ＡＢをＸとすると、Ｘは２に該当します。（斜辺は一番長いので。）
ＢＣ＞ＡＣより、
ＢＣは√３に、ＡＣは１に該当します。
よって、
Ｘ：３＝２：１
Ｘ＝６
答え：６ｃｍ
②ここでは、１：１：√２ を使います。
ＡＣをＸとすると、Ｘは１に該当します。（斜辺ではないので。）
ＡＢは、√２に該当します。
よって、
Ｘ：４＝１：√２
Ｘ＝２√２
答え：２√２ｃｍ
③ここでは、１：２：√３ を使います。
ＡＣをＸとすると、Ｘは√３に該当します。（ＢＣ＜ＡＣより）
ＡＢは、２に該当します。（斜辺ですから。）
よって、
Ｘ：６＝√３：２
Ｘ＝３√３
答え：３√３ｃｍ
問題演習
①上記の図において、ＡＤ＝５ｃｍ、ＣＤ＝１ｃｍ、ＤＢ＝４ｃｍのとき、
ＡＢの長さを求めよ。
②上記の図において、ＡＣ＝６ｃｍ、ＢＣ＝３ｃｍ、∠ＢＣＡ＝１３５°のとき、
△ＡＢＣの面積を求めよ。
③底面の半径が５ｃｍ、母線の長さが１３ｃｍの円すいの体積を求めよ。
④面積が９ｃｍ２の正方形の、対角線の長さを求めよ。
⑤１辺が８ｃｍの正三角形の、面積を求めよ。
解答・解説
①ＡＢの長さを求めるには、ＡＣとＢＣの長さが必要です。
ＢＣは、ＣＤ＋ＤＢですから、５ｃｍ（＝１＋４）です。
ＡＣは？
うまい具合に、△ＡＣＤは直角三角形で、
ＡＤ＝５ｃｍ、ＣＤ＝１ｃｍと長さもわかってます。
まず、ＡＣを求めましょう。（ＡＣをＸとします。）
Ｘ２＋１２＝５２
Ｘ２＝２４
Ｘ＝±√２４
Ｘ＝±２√６
Ｘ＝２√６ （長さなので、Ｘ＞０）
よって、ＡＣは、２√６ｃｍ
もとに戻って、今度は△ＡＢＣに注目です。
ここでは、ＡＢをＸとします。
Ｘ２＝（２√６）２＋５２
Ｘ２＝４９
Ｘ＝±√４９
Ｘ＝±７
Ｘ＝７ （長さなので、Ｘ＞０）
よって、ＡＢは７ｃｍ これが、答えになります。
②三角形の面積ですから、底辺と高さが必要です。
底辺は、ＢＣで長さもわかりますが、
高さについては、下の図のＡＤが該当します。
「底辺と高さは直交」が原則ですから、
∠ＡＤＣ＝９０°、そして、
∠ＡＣＤ＝４５°（直線１８０°－∠ＢＣＡ）
ＡＤをＸとすると、１：１：√２の１に該当します。
ＡＣは、１：１：√２の√２に該当します。
Ｘ：６＝１：√２
√２Ｘ＝６
Ｘ＝３√２
よって、ＡＤ（高さ）は、３√２ｃｍ
△ＡＢＣの面積は、
３×３√２÷２＝９√２／２ ｃｍ２
③円すいの体積を求めるためには、
底面積と高さが必要です。
「底面積」
底面は、円ですから、半径×半径×π
よって、５×５×π＝２５π
「高さ」
高さも長さですから、三平方の定理で求めます。
母線と、底面の円の半径と、高さとで
直角三角形が構成されます。（母線が斜辺になります。）
それぞれ、１３ｃｍ、５ｃｍ、Ｘｃｍとすると、
Ｘ２＋５２＝１３２
これを解くと、
Ｘ＝１２
「円すいの体積」
必要なものがそろいましたから、体積を求めます。
２５π×１２÷３＝１００π
答え：１００π ｃｍ３
④面積が、９ｃｍ２の正方形ということは、
１辺が、３ｃｍということです。
対角線を斜辺とする直角三角形を考えると、
Ｘ２＝３２＋３２ （斜辺がＸです。）
これを解くと、
Ｘ＝３√２
答え：３√２ｃｍ
（正方形に対角線をひくと、１：１；√２の直角三角形ができます。
もちろん、こちらのパターンで解いてもかまいません。）
⑤正三角形の３つの角度は、すべて６０°ですから、
１：２：√３が使いやすい形になっています。
底辺のちょうど真中から、頂点に向かって直線をひくと、
それが、「高さ」になります。
底辺の半分と、高さと、斜辺とで直角三角形ができます。
ここで、底辺の半分は、１：２：√３の１にあたります。
高さは、１：２：√３の√３にあたります。
高さをＸとすると、Ｘ：４＝√３：１
これを解くと、Ｘ＝４√３
聞かれていたのは、正三角形の面積ですから、
８×４√３÷２＝１６√３
答え：１６√３ ｃｍ２
思っていたよりも、長くなってしまいました。^^;
ここで補足ですが、「長さ」を聞かれている場合には、
「三平方の定理」か「相似（比）」で、対処できるケースがほとんどです。
（覚えておくと、けっこう役に立ちます。）
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