１６．確率 数学の勉強部屋

確率というのは、
その条件では何通り
全部で何通り
というのを求めることです。
その他に、「その条件では何通り」というのを求めるだけの「場合の数」というものも、この分野の一部です。

　ちょっと、抽象的でわかりにくいと思いますので、具体的にみていきましょう。
　以下は、確率で良く出てくるものの具体例です。
サイコロ：１個・１回６通り
２個・２回６×６＝３６通り
３個・３回６×６×６＝２１６通り

コイン：１枚・１回２通り
２枚・２回２×２＝４通り
３枚・３回２×２×２＝８通り

カード：①3枚の場合1枚ひく３通り
２枚ひく３×２＝６通り
３枚ひく３×２×１＝６通り
②４枚の場合１枚ひく４通り
２枚ひく４×３＝１２通り
３枚ひく４×３×２＝２４通り
４枚ひく４×３×２×１＝２４通り


玉の確率：条件の玉の個数／全部の個数
＜例＞
袋に、赤玉３個、青玉２個、白玉１個入っている。
玉を１個取るとき、それが青玉である確率を求めよ。
＜解答＞
全部で、３＋２＋１＝６個
青玉は、２個。
　確率は、２／６＝１／３

人の場合：基本は、カードと同じ。ただし、順番は関係ないので、計算は大変。

では、問題演習をしながら、覚えていきましょう。

問題
１、大小２つのサイコロを同時に振った。
（１）出た目の和が９になる確率を求めよ。

（２）出た目の和が５の倍数になる確率を求めよ。

（３）出た目の和が６以下になる確率を求めよ。


解答・解説
（１）
２つのサイコロを振った場合、全部で３６通り。
和が９になるのは、（３，６）（４，５）（５，４）（６，３）⇒４通り
確率は、４／３６＝１／９

（２）
和の範囲は、２～１２。その中で、５の倍数は、５と１０。
和が５になるのは、（１，４）（２，３）（３，２）（４，１）⇒４通り
和が１０になるのは、（４，６）（５，５）（６，４）⇒３通り
合計７通り
よって、確率は７／３６

（３）
和が６になるのは、（１，５）（２，４）（３，３）（４，２）（５，１）⇒５通り
和が５になるのは、（１，４）（２，３）（３，２）（４，１）⇒４通り
和が４になるのは、（１，３）（２，２）（３，１）⇒３通り
和が３になるのは、（１，２）（２，１）⇒２通り
和が２になるのは、（１，１）⇒１通り
合計１５通り
よって、確率は１５／３６＝５／１２


問題
２、コインを2枚同時に投げた。
（１）２枚とも裏が出る確率を求めよ。

（２）少なくとも、１枚は表が出る確率を求めよ。


解答・解説
（１）
コインを２枚投げた場合、全部で４通り。
（裏、裏）となるのは、１通り。
よって、確率は１／４

（２）
「少なくとも」の処理
　：少なくとも、１枚は表が出る確率を求めよ、の場合。
①逆のことを考える
　：１枚も表が出ない（＝全部裏が出る）
②その確率を計算する
　：全部で４通り。
　：２枚とも裏になるのは１通り。（裏、裏）
よって、確率は１／４
③１からその確率を引く。
　：１－１／４＝３／４　　　　答え　３／４
「少なくとも」⇒１－逆の確率


問題
３、コインを３枚続けて投げた。
（１）３枚と表が出る確率を求めよ。

（２）少なくとも、１枚は裏が出る確率を求めよ。


解答・解説
（１）
コインを３枚投げた場合、全部で８通り。
（表、表、表）となるのは、1通り。
確率は１／８

（２）
「少なくとも」なので、1枚も裏が出ない（全部表が出る）確率を考える。
（１）より、1枚も裏が出ない確率は１／８
よって、１－１／８＝７／８　　答え７／８


問題
１、２、３の３枚のカードがある。２枚続けてカードを引き、順番に並べた。
（１）２けたの数字は全部で何通りできるか。

（２）偶数になる確率を求めよ。


解答・解説
（１）
６通り。（３×２＝６）

（２）
出る数字は、１２，１３，２１，２３，３１，３２
偶数は、１２，３２（２通り）
よって、確率は、２／６＝１／３


問題
１、２、３、４の４枚のカードがある。２枚続けてカードを引き、順番に並べた。
（１）２けたの数字は全部で何通りできるか。

（２）４の倍数になる確率を求めよ。


解答・解説
（１）
１２通り。（４×３＝１２）

（２）
出る数字は、１２，１３，１４，２１，２３，２４，３１，３２，３４，４１，４２，４３
４の倍数は、１２，２４，３２（３通り）
よって、確率は、３／１２＝１／４


問題
１、２、３、４の４枚のカードがある。３枚続けてカードを引き、順番に並べた。
（１）３けたの数字は全部で何通りできるか。

（２）３００以上になる確率を求めよ。


解答・解説
（１）
２４通り。（４×３×２＝２４）

（２）
３００以上の数字は、３１２，３１４，３２１，３２４，３４１，３４２，
４１２，４１３，４２１，４２３，４３１，４３２（１２通り）
よって、確率は、１２／２４＝１／２


問題
袋の中に、赤玉２個、青玉４個、白玉６個が入っている。１つを取り出すとき、
（１）それが、白玉である確率を求めよ。

（２）それが、白玉あるいは青玉である確率を求めよ。


解答・解説
（１）
玉は全部で、２＋４＋６＝１２
白玉の個数は６
よって、確率は、６／１２＝１／２

（２）
白玉あるいは青玉　ということは、白玉でも青玉でもＯＫということ。
白玉と青玉の個数は、４＋６＝１０
よって、確率は、１０／１２＝５／６


問題
袋の中に、赤玉１個、白玉３個が入っている。１つを取り出し、すぐに戻す。
その後、もう一回玉を１つ取り出すとき、２回とも、白玉が出る確率を求めよ。


解答・解説
１回目の袋には、玉が４個。
２回目の袋にも、玉が４個。
　玉の取りだし方は、全部で１６通り。（４×４＝１６）

１回目の袋には、白玉が３個。
２回目の袋にも、白玉が３個。
　白玉の取りだし方は、全部で９通り。（３×３＝９）
よって、確率は、９／１６

＜別解＞
１回目に白玉が出る確率は、３／４
２回目に白玉が出る確率は、３／４
２回とも白玉が出る確率は、３／４×３／４＝９／１６
　特に説明はしませんが、こういう考え方もあります。


問題
５人の生徒Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅがいる。
これらの中から、くじ引きで２人を選ぶ時、Ａが選ばれる確率を求めよ。


解答・解説
「人」の場合は、要注意です。
数字の場合には、１２と２１は違う組合せですが、
人の場合には、例えば
「鈴木と佐藤」という組合せと「佐藤と鈴木」という組合せは、同じです。

　これは、「順列」とか「組合せ」とかいうところが問題になっているわけです。
４Ｃ２とか、５Ｐ３とか、見覚えがありますか？
本当は、ここのところも、キチンと説明したほうが良いのかもしれませんが、
「人」の場合は、要注意＝書き出す方法で対処
と覚えておいてもらえれば、准看や進学コースの入試では、おそらく困らないはずです。
　どうしても、気になる方は、参考書などで調べるか、メールをください。


考えられる組み合わせは、
ＡＢ・ＢＣ・ＣＤ・ＤＥ
ＡＣ・ＢＤ・ＣＥ
ＡＤ・ＢＥ
ＡＥ
の１０通り。
注意！ＡＢとＢＡは、この場合同じことです。
Ａが入っているのは、ＡＢ，ＡＣ，ＡＤ，ＡＥの４通り。
よって、確率は、４／１０＝２／５


問題
男３人、女２人の中からくじ引きで２人を選ぶ時、
（１）２人とも男が選ばれる確率を求めよ。

（２）少なくとも、１人は女が選ばれる確率を求めよ。


解答・解説
（１）
男をＡ，Ｂ，Ｃ　女をｄ，ｅとすると、考えられる組み合わせは、
ＡＢ・ＢＣ・Ｃｄ・ｄｅ
ＡＣ・Ｂｄ・Ｃｅ
Ａｄ・Ｂｅ　　
Ａｅ
の１０通り。
２人とも男なのは、ＡＢ，ＡＣ，ＢＣの３通り。
よって、確率は、３／１０
（２）
「少なくとも」なので、逆の確率を考える。
１人も女が選ばれない（２人とも男）確率は、（１）より３／１０
よって、この場合の確率は、１－３／１０＝７／１０

＜別解＞女が１人は入っている組み合わせは、
Ａｄ・Ａｅ・Ｂｄ・Ｂｅ・Ｃｄ・Ｃｅ・ｄｅ（７通り）
よって、確率は７／１０　としてもＯＫ
女が１人の場合と、２人の場合の両方あることに注意！

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