９．関数その１ 数学の勉強部屋

　ここでは、関数の式の形を求めるということに、しぼって解説します。それ以外は、「１０．関数その２」に、まとめてあります。

＜比例・反比例＞

（比例）	Ｙ＝	ａＸ		※ａ：比例定数
（反比例）	Ｙ＝	ａ		※ａ：比例定数
		Ｘ

＜１次関数（直線の式）＞
　Ｙ＝ａＸ＋ｂ　

※ａ＝傾き＝変化の割合＝	Ｙの増加量
	Ｘの増加量
※ｂ＝切片

＜２乗に比例する関数・２乗に反比例する関数＞

（２乗に比例）	Ｙ＝	ａＸ２		※ａ：比例定数
（２乗に反比例）	Ｙ＝	ａ		※ａ：比例定数
		Ｘ２

実際に、問題を解く際には、ａやｂを求めることになります。
これらの中で、１次関数だけが特殊です。
それ以外のものには、共通点があります。それは、ａしかないことです。このことは、代入法で求められるということを意味しています。（解きかたは、のちほど。）
逆に考えると、１次関数だけは、アプローチの仕方が違うということです。（これまた、のちほど。）

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＜比例・反比例　問題演習＞
�@ＹはＸに比例し、Ｘ＝１のとき、Ｙ＝３である。
　Ｘ＝３のときのＹの値を求めよ。

�AＹはＸに比例し、Ｘ＝２のとき、Ｙ＝４である。
　Ｙ＝１０のときのＸの値を求めよ。

�BＹはＸに反比例し、Ｘ＝２のとき、Ｙ＝８である。
　Ｘ＝４のときのＹの値を求めよ。

�CＹはＸに反比例し、Ｘ＝３のとき、Ｙ＝６である。
　Ｙ＝２のときのＸの値を求めよ。

解答・解説
�@まず、比例の式を求めます。比例は、Ｙ＝ａＸでしたよね。
　Ｘ＝１、Ｙ＝３を代入すると、
　３＝ａ×１
　３＝ａ
　ａ＝３
つまり、ここの比例の式は、Ｙ＝３Ｘ
これに、Ｘ＝３を代入すると、
　Ｙ＝９　これが、答えになります。

�A上記と同様に行うと、ここの比例の式は、Ｙ＝２Ｘ
これに、Ｙ＝１０を代入すると、
　Ｘ＝５　これが、答えになります。

�B考え方は、同じです。ただ、今度は反比例ですから、Ｙ＝ａ／Ｘ　になります。
　Ｘ＝２、Ｙ＝８を代入すると、ａ＝１６
つまり、ここの反比例の式は、Ｙ＝１６／Ｘ
これに、Ｘ＝４を代入すると、
　Ｙ＝４　これが、答えになります。

�C　�Bと同じように進めると、
ここの反比例の式は、Ｙ＝１８／Ｘ
これに、Ｙ＝２を代入すると、
　Ｘ＝９　これが、答えになります。

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＜２乗に比例する関数＞
�@ＹはＸ^２に比例し、点（１，３）を通る。
　このときの関数の式を求めよ。

�AＹはＸ^２に比例し、点（２，−８）を通る。
　このときの関数の式を求めよ。

�BＹはＸ^２に比例し、Ｘ＝２のとき、Ｙ＝２である。
　Ｘ＝４のときのＹの値を求めよ。

解答・解説
�@ＹはＸ^２に比例し、とあるので、
　式の基本形は、Ｙ＝ａＸ^２　です。
ここから先は、やっぱり代入です。
Ｘに１を、Ｙに３を、それぞれ代入すると、
　３＝ａ×１^２
　ａ＝３
よって、Ｙ＝３Ｘ^２　これが、答えになります。

�A上と同じパターンです。
Ｘに２を、Ｙに−８を、それぞれ代入すると、
　−８＝ａ×２^２
　ａ＝−２
よって、Ｙ＝−２Ｘ^２　これが、答えになります。

�Bまず、式を求めてから、Ｘ＝４の場合を考えます。
Ｘ＝２、Ｙ＝２を代入すると、
　２＝ａ×２^２
　ａ＝１／２
よって、Ｙ＝１／２　Ｘ^２（あるいは、Ｘ^２／２）
これに、Ｘ＝４を代入すると、
　Ｙ＝８　これが、答えになります。

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＜２乗に反比例する関数＞
�@ＹはＸ^２に反比例し、Ｘ＝２のとき、Ｙ＝９である。
　Ｘ＝３のときのＹの値を求めよ。

�AＹはＸ^２に反比例し、Ｘ＝１のとき、Ｙ＝１６である。
　Ｘ＝４のときのＹの値を求めよ。

解答・解説
�@ＹはＸ^２に反比例し、とあるので、
　式の基本形は、Ｙ＝ａ／Ｘ^２　です。
ここから先は、やっぱり代入です。
Ｘに２を、Ｙに９を、それぞれ代入すると、
　９＝ａ／２^２
　ａ＝３６
よって、Ｙ＝３６／Ｘ^２
これに、Ｘ＝３を代入すると、
　Ｙ＝４　これが、答えになります。

�AＸに１を、Ｙに１６を、それぞれ代入すると、
　１６＝ａ／１^２
　ａ＝１６
よって、Ｙ＝１６／Ｘ^２
これに、Ｘ＝４を代入すると、
　Ｙ＝１　これが、答えになります。

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くどいようですが、
ここまでの問題は、基本的なパターンはいっしょでした。
「式の基本形を思い出して、代入をする」というものでした。
式を知るために求める必要のある文字が、ａだけだったからです。

しかし、最後に残った「１次関数」には、ａとｂに２つの文字がでてきます。
そのため、解き方が、これだけが異質です。と、言っても、ワンクッション入るだけのことです。
その際に大活躍するのが、「ａ＝Ｙの増加量／Ｘの増加量」です。　
それでは、そろそろ始めましょう。

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＜一次関数＞
�@２点（１，３）（３，７）を通る直線の式を求めよ。

�A２点（１，１）（４，−２）を通る直線の式を求めよ。

�BＹ＝４Ｘ＋２に平行で点（２，７）を通る直線の式を求めよ。

�C２点（１，３）（２，３）を通る直線の式を求めよ。

�D２点（２，４）（２，８）を通る直線の式を求めよ。

解答・解説
�@直線の式ということなので、
式の基本形は、Ｙ＝ａＸ＋ｂ　になります。
ａとｂを、一度に求めることはできないので、
通常は、ａから先に求めます。
使うのは、ａ＝Ｙの増加量／Ｘの増加量　です。

ここでは、Ｘは１から３、Ｙは３から７　なので、
増加量は、それぞれ、２と４になります。
よって、ａ＝４／２＝２
これを、基本形に代入すると、
　Ｙ＝２Ｘ＋ｂ
あとは、ｂだけですから、やはり代入です。
（１，３）と（３，７）の好きなほうを選んでください。
ここでは、（１，３）とします。Ｘ＝１、Ｙ＝３ということです。
　３＝２×１＋ｂ
　ｂ＝１
よって、Ｙ＝２Ｘ＋１　これが、答えになります。

�A上と同じパターンです。まず、ａからいきましょう。
Ｘの増加量は３、Ｙの増加量は−３ですから、
　ａ＝−３／３＝−１
したがって、Ｙ＝−Ｘ＋ｂになります。
（１，１）を代入すると、
　１＝−１＋ｂ
　ｂ＝２
よって、Ｙ＝−Ｘ＋２　これが、答えになります。

�Bここのポイントは、「平行」ということです。
１次関数で、この言葉がでてきたら、
「傾きが同じ」と考えてください。それだけのことです。

「Ｙ＝４Ｘ＋２に平行」と書いてありますから、
これは、「傾きは４ですよ」と教えてくれているわけです。
ですから、Ｙ＝４Ｘ＋ｂとなります。
これに、（２，７）を代入すると、
　７＝４×２＋ｂ
　ｂ＝−１
よって、Ｙ＝４Ｘ−１　これが、答えになります。

ここから先は、ちょっと特殊なものになります。
�C問題をよく見ると、
（１，３）と（２，３）とでは、Ｙの値が同じ（Ｙ＝３）です。
１次関数においては、
これは、Ｙの値は、Ｘに無関係であり、かつ一定ということです。
よって、Ｙ＝３　これが、答えになります。
　Ｙ＝３は、Ｘ軸に平行な直線になります。

�D問題をよく見ると、
（２，４）と（２，８）とでは、Ｘの値が同じ（Ｘ＝２）です。
１次関数においては、
これは、Ｘの値は、Ｙに無関係であり、かつ一定ということです。
よって、Ｘ＝２　これが、答えになります。
　Ｘ＝２は、Ｙ軸に平行な直線になります。

※２乗に比例する関数においては、�CのようにＸの値が違うのに、
Ｙの値が同じということは、珍しいことではありません。
例えば、Ｙ＝Ｘ^２においては、
Ｘ＝３のときとＸ＝−３のときでは、Ｙの値は同じですよね。


「１０．関数その２」では、
２乗に比例する関数の、変化の割合・変域
交点の座標
を取り上げます。

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