１０．関数その２ 数学の勉強部屋

　ここで取り上げる内容は、変化の割合・変域・交点の座標です。

　本題に入る前にいくつか注意点があります。
１．「変化の割合」の対象は、「２乗に比例する関数」です。
　「変化の割合」の求め方は、Ｙの増加量／Ｘの増加量を使います。しかし、
　１次関数では、変化の割合＝ａでしたが、
　２乗に比例する関数では、変化の割合≠ａです。

２．「変域」の対象は、やはり「２乗に比例する関数」です。
　「Ｘの変域」のことを、「定義域」
　「Ｙの変域」のことを、「値域」
　と呼ぶ場合もありますが、
　ここでは「Ｘの変域」「Ｙの変域」に統一します。

３．「交点の座標」の対象の多くは、
　「２乗に比例する関数」と「１次関数」との交点です。
　まれに「１次関数」と「１次関数」との交点の場合もありますが、
　解くパターンはほとんど同じです。

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関数その２　問題演習
＜変化の割合＞
�@Ｙ＝Ｘ^２において、
Ｘの値が１から３まで増加するときの変化の割合を求めよ。

�AＹ＝２Ｘ^２において、
Ｘの値が２から４まで増加するときの変化の割合を求めよ。

�BＹ＝ａＸ^２において、
Ｘの値が１から３まで増加するときの変化の割合が１２であるとき、
ａの値を求めよ。


解答・解説
�@Ｘの値は１から３までなので、Ｘの増加量は、２です。
Ｙの値は、
　Ｘ＝１のとき、Ｙ＝１^２＝１
　Ｘ＝３のとき、Ｙ＝３^２＝９
よって、Ｙの増加量は、８になります。
　変化の割合＝８／２＝４　これが、答えになります。

�AＸの値は２から４までなので、Ｘの増加量は、２です。
Ｙの値は、
　Ｘ＝２のとき、Ｙ＝２×２^２＝８
　Ｘ＝４のとき、Ｙ＝２×４^２＝３２
よって、Ｙの増加量は、２４になります。
　変化の割合＝２４／２＝１２　これが、答えになります。

�B少しパターンが違う問題ですが、
行けるところまでは、同じように進めます。

Ｘの値は１から３までなので、Ｘの増加量は、２です。
Ｙの値は、
　Ｘ＝１のとき、Ｙ＝ａ×１^２＝ａ
　Ｘ＝３のとき、Ｙ＝ａ×３^２＝９ａ
よって、Ｙの増加量は、８ａになります。
　変化の割合＝８ａ／２＝４ａ
問題によれば、これは、１２ということになりますから、
　４ａ＝１２
　　ａ＝３　これが、答えになります。

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＜変域＞
�@Ｙ＝２Ｘ^２において、
Ｘの変域が−１≦Ｘ≦２のときの、Ｙの変域を求めよ。

�AＹ＝Ｘ^２において、
Ｘの変域が−２≦Ｘ≦４のときの、Ｙの変域を求めよ。

�BＹ＝−Ｘ^２において、
Ｘの変域が−２≦Ｘ≦３のときの、Ｙの変域を求めよ。

�CＹ＝３Ｘ^２において、
Ｘの変域が１≦Ｘ≦２のときの、Ｙの変域を求めよ。


解答・解説
�@変域というのは、この問題で言えば、
Ｘが−１から２までのとき、Ｙはいくつからいくつまで、
ということを、聞かれているだけのことです。

実際には、どう解くのかというと、
Ｘの最小値である−１を、代入します。このとき、
　Ｙ＝２×（−１）^２＝２
Ｘの最大値である２を、代入します。このとき、
　Ｙ＝２×２^２＝８
ここからが、今回のポイント！
Ｘの変域に、０が含まれている場合には、０も代入します。
　Ｙ＝２×０^２＝０

Ｙの変域を表す「△≦Ｙ≦□」の
△には、一番小さい値（ここでは、０）
□には、一番大きい値（ここでは、８）
を書きます。
　０≦Ｙ≦８　これが、答えになります。

�Aパターンは同じです。
　Ｘ＝−２のとき、Ｙ＝４
　Ｘ＝４のとき、Ｙ＝１６
　Ｘ＝０のとき、Ｙ＝０
よって、０≦Ｙ≦１６　これが、答えになります。

�Bパターンは同じです。
　Ｘ＝−２のとき、Ｙ＝−４
　Ｘ＝３のとき、Ｙ＝−９
　Ｘ＝０のとき、Ｙ＝０
よって、−９≦Ｙ≦０　これが、答えになります。

�Cパターンはほぼ同じです。
　Ｘ＝１のとき、Ｙ＝３
　Ｘ＝２のとき、Ｙ＝１２
Ｘの変域に０が含まれていませんので、
　Ｘ＝０は代入しないでください。
よって、３≦Ｙ≦１２　これが、答えになります。

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＜交点の座標＞
�@２乗に比例する関数Ｙ＝Ｘ^２と、
一次関数Ｙ＝Ｘ＋６との交点の座標を求めよ。　　　　

�A２乗に比例する関数Ｙ＝Ｘ^２と、
一次関数Ｙ＝Ｘ＋２との交点の座標を求めよ。　　　　

�B２乗に比例する関数Ｙ＝Ｘ^２と、
一次関数Ｙ＝３Ｘ＋４との交点の座標を求めよ。　　　　


解答・解説
�@交点の座標は、ある意味連立方程式です。
ここでは、
　Ｙ＝Ｘ^２・・・（１）
　Ｙ＝Ｘ＋６・・・（２）
の連立方程式だと思ってください。

連立方程式のポイントは「文字を減らす」でしたね。
ここでは、次のようにするのが一番楽です。
　Ｘ^２＝Ｘ＋６

普通の連立方程式とは、ちょっと雰囲気は違いますが、
Ｙはなくなりましたよね。
右辺を、左辺に移行すると、
　Ｘ^２−Ｘ−６＝０
と、２次方程式になります。

これを解くと、Ｘ＝−２、３

座標には、Ｘの値とＹの値が必要ですので、
Ｙの値を求めます。上記の（１）か（２）に代入です。
Ｘ＝−２のとき、
　Ｙ＝−２＋６＝４
Ｘ＝３のとき、
　Ｙ＝３＋６＝９
よって、（−２、４）（３、９）　これが、答えになります。
通常、交点の座標では、答えが２つ出ます。


�A解き方は、同じです。
　Ｙ＝Ｘ^２・・・（１）
　Ｙ＝Ｘ＋２・・・（２）

　Ｘ^２＝Ｘ＋２
　Ｘ^２−Ｘ−２＝０
これを、解くと、
　Ｘ＝−１、２

Ｘ＝−１のとき、
　Ｙ＝−１＋２＝１
Ｘ＝２のとき、
　Ｙ＝２＋２＝４
よって、（−１、１）（２、４）　これが、答えになります。


�B解き方は、やっぱり同じです。
　Ｙ＝Ｘ^２・・・（１）
　Ｙ＝３Ｘ＋４・・・（２）

　Ｘ^２＝３Ｘ＋４
　Ｘ^２−３Ｘ−４＝０
これを、解くと、
　Ｘ＝−１、４

Ｘ＝−１のとき、
　Ｙ＝（−１）^２＝１
Ｘ＝４のとき、
　Ｙ＝４^２＝１６
よって、（−１、１）（４、１６）　これが、答えになります。

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