１．平方根
数学の勉強部屋
「POINT」①素因数分解 ②（分母の）有理化
（１）平方ってなんだろう？
平方とは、2乗のことです。ｃｍ２は、平方センチメートルと読みますが、
意味は、ｃｍの２乗ということです。
ちなみに、三平方の定理（ａ２＝ｂ２＋ｃ２）は、平方（２乗）が３つあるため、この名前になりました。
（２）それでは、平方根とはなんだろう？
平方根とは、言ってみれば平方（２乗）の逆です。これでは、わかりにくいので、例を見てみましょう。
例：９の平方根と言われた場合には、何を平方（２乗）したら９になるのか、と考えてください。
まず、３という答えが出てくると思います。３２は３×３で、９になりますから。
あと、－３もＯＫです。（－３） ２は（－３）×（－３）で、やはり９になります。
では、７の平方根だったらどうでしょうか？何を２乗したら、７になるでしょうか？・・・
少なくとも、普通の数字ではないということはわかると思います。
このような場合、√７そして－√７と表します。
１０の平方根ならば、√１０と－√１０で、
５１の平方根ならば、√５１と－√５１となります。ルールは簡単ですね。
ところで、このルールでいけば、９の平方根は√９と－√９のはずです。それが、３と－３となるのは、なぜなのでしょうか？
これは、素因数分解をおこなったためです。（いよいよ本題に入る時が来ました。）
それでは、以下の解説に、進んでください。
※(１)(２)の内容は、実際の計算では、直接的にはあまり使いませんので、無理に覚えなくても大丈夫です。
ここからが、重要！
平方根の計算では①素因数分解②(分母の)有理化 が重要で、それ以外は普通の計算と同じです。
最初に、普通の計算のルールを復習しておきましょう。
２ａ×５ｂはいくつになるでしょうか？答えは、１０ａｂですね。
細かく見てみると、まず２×５で１０、次にａ×ｂでａｂとなります。
数字は数字同士で計算して、文字は文字同士で計算しています。
それでは、３ａｂ＋６ａｂはどうでしょうか？答えは、９ａｂですね。
これも、細かく見てみると、３＋６で９、しかし、文字のほうは変わっていません。
７X＋８Yはどうでしょうか？これは、計算できませんね。
文字の種類が違うと、足したり引いたりできないということです。
以上が、簡単ですが、普通の計算ということになります。
①素因数分解：キーワード＝ペアを作れ！
素因数分解とは、素数でばらばらにしていくことです。
ところで、素数ってなんだか覚えてますか？
素数とは、１とその数以外では割り切れない数のことです。
具体的には、２、３、５、７、１１、１３、１７・・・などです。
では、実際にやってみましょう。
８→２×２×２
１６→２×２×２×２
１８→２×３×３
２４→２×２×２×３
７２→２×２×２×３×３
ここまでは、大丈夫でしょうか？次は√の素因数分解です。
ルールは、「ペアは√の外に出て、ペアでないものはルートの中に残る。つながりは掛け算。」です。
√８は、８→２×２×２ なので、２√２になります。
※２のペアが1組と、残りが２なので。
√１６は、１６→２×２×２×２ なので、４になります。
※２のペアが2組(つながりは掛け算！)、残りはなし(√の中に残るものはないということ。)
√１８は、１８→２×３×３ なので、３√２になります。
※３のペアが1組と、残りが２なので。
√２４は、２×２×２×３ なので、２√６になります。
※２のペアが1組と、残りが２と３(つながりは掛け算)なので。
√７２は、２×２×２×３×３ なので、６√２になります。
※２のペアと３のペアが1組ずつ(つながりは掛け算)、残りは２なので。
ちなみに、３√８は、２のペアが1組と残りが２となりますが、もともと√の外に３があるので、６√２になります。(３と２のペア1組も、やはりつながりは掛け算なので。)
②(分母の)有理化：キーワード＝分母から√をなくす。
| １ |
|---|
| √３ |
|---|
は分母に√があります。このような場合には、有理化しなければなりません。
方法は、分母の√と同じものを、分子と分母に掛けます。
| １×√３ |
|---|
| √３×√３ |
|---|
こんな感じです。分母は√９なので、素因数分解すると３、分子は√３です。
| √３ |
|---|
| ３ |
|---|
これで、有理化は完了です。(分母から√がなくなりました。)
問題演習
１．２√３×４√２
２．４√２×√８
３．３√２１÷√６×√２
４．√４８－√２７＋√１２
解答・解説
１．答え：８√６
※２×４で８、√３×√２で√６
２．答え：１６
※４√２×√８＝４√１６、√１６を素因数分解すると４、もともと４があるので４×４。
３．答え：３√７
※√と√の約分は可能ですが、√と普通の数字とでは約分はできません。
数字は数字と、文字は文字としか約分できないのと同じことです。
４．答え：３√３
※このままでは、足したり引いたりできないので、素因数分解！
√４８は４√３、√２７は３√３、√１２なので２√３
４√３－３√３＋２√３ となり、足したり引いたりできるようになります。
あとは、普通の計算のルールで。
５．
√２７は素因数分解で３√３
あとは普通の(分数)の計算。
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