５．因数分解 数学の勉強部屋

　因数分解というのは、言ってみれば、式の展開の逆のことをすればよいわけです。その基本のルールとなるのが、共通因数でくくるということです。


それでは、具体的に見ていきましょう。
＜例題１＞　３ａ^２ｂ^３−６ａ^３ｂ＋１２ａｂ^２　を因数分解しなさい。

まず、共通因数を探すわけですが、わかりやすくするためにバラしてみます。
　３×ａａ×ｂｂｂ−２×３×ａａａ×ｂ＋２×２×３×ａｂｂ
　３×ａａ×ｂｂｂ−２×３×ａａａ×ｂ＋２×２×３×ａｂｂ
　　下線部が共通因数になります。
共通因数が見つかったら、まずそれを書き、後ろの（　　）内に、残りものを書きます。
　３ａｂ（ａｂ^２−２ａ^２＋４ｂ）　これが答えになります。
　　試しに、これを展開してみてください。元に戻れば、因数分解は成功したということになります。



続いては、全体を通しての共通因数がない場合です。
＜例題２＞　ａＸ＋ｂＹ−ｂＸ−ａＹ　を因数分解しなさい。

全体を通しての共通因数がありませんので、例題１のようにすぐにくくるわけにはいきません。こんなときには、部分ごとに共通因数でくくることを考えます。 いろいろなパターンがありますが、ここではＸとＹに注目してみます。Ｘを前に、Ｙを後ろに移動させます。

　ａＸ−ｂＸ−ａＹ＋ｂＹ
この中で、ａＸ−ｂＸではＸが、−ａＹ＋ｂＹでは−ａＹ−（−ｂＹ）と考えれば−Ｙが、共通因数になっていますので、次のようにできます。

　Ｘ（ａ−ｂ）−Ｙ（ａ−ｂ）
ここでは、（ａ−ｂ）が共通因数になっています。

　（ａ−ｂ）（Ｘ−Ｙ）　これが、答えになります。


次も、全体を通しての共通因数がない場合です。
＜例題３＞　Ｘ^２＋７Ｘ＋１２　を因数分解しなさい。

これって、「掛けていくつ、足していくつ」のパターン（あるいは、たすき掛け）じゃないの？と思ったあなた、確かにその通りです。 でも、共通因数でくくるという基本パターンで解けちゃいます。ちょっと、工夫が必要ですけど・・・。

まずは、見ててください。
　＋７Ｘを、＋３Ｘ　と　＋４Ｘに分けます。
　これが、ちょっとした工夫というやつです。

　Ｘ^２＋３Ｘ＋４Ｘ＋１２
この中で、Ｘ^２＋３ＸではＸが、＋４Ｘ＋１２では４が、共通因数になります。

　Ｘ（Ｘ＋３）＋４（Ｘ＋３）
ここでは、（Ｘ＋３）が共通因数になっています。

　（Ｘ＋３）（Ｘ＋４）　これが、答えになります。

どうでしょうか？確かにできましたよね。
でも、「ちょっとした工夫」のところが、実際にはやっかいです。
後で、うまく因数分解できるように分けるのは大変です。

ということで、もう少し楽な方法として、
「掛けていくつ、足していくつ」のパターン（あるいは、たすき掛け）がでてきました。
　正確なことは知りませんが、^^;　おそらくそうでしょう。


ちなみに、
「掛けていくつ、足していくつ」のパターン（あるいは、たすき掛け）で解くと、
掛けて＋１２、足して＋７というのは、＋３と＋４ですから、
答えはやはり、（Ｘ＋３）（Ｘ＋４）となります。当たり前ですけど。


＜まとめ＞
因数分解の解きかたとしては、
　�@共通因数でくくる
　�A「掛けていくつ、足していくつ」（あるいは、たすき掛け）
　�B　�@と�Aの合わせ技
などがあります。

�Bの合わせ技というのは、
　４Ｘ^２＋２８Ｘ＋４８　のように、
まず共通因数でくくり、
　４（Ｘ^２＋７Ｘ＋１２）
さらに、掛けていくつ、足していくつ」（あるいは、たすき掛け）を行うタイプの問題のことです。

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