数Tミニマム講座 ４．三角比 正弦定理・余弦定理
ここで、取り上げる公式は、２つです。
正弦定理：
ａ／sinA＝ｂ／sinB＝ｃ／sinC＝２R
（Rは、外接円の半径）
※よく使うのは、ａ／sinA＝ｂ／sinBの部分です。
※正弦定理におけるsinは、必ずプラスになります。
余弦定理：
ａ２＝ｂ２＋ｃ２−２ｂｃcosA
※この公式は、変形して
cosA＝（ｂ２＋ｃ２−ａ２）／２ｂｃ
として、使うことも、よくあります。
※余弦定理におけるcosは、プラスの場合も、マイナスの場合もあります。
A、B、Cや辺ａ、ｂ、ｃなどの位置関係は下の図を参照してください。
正弦定理と余弦定理の使い分け
正弦定理は、求めなければならないものを含めて、角２つと辺２つで構成されています。
余弦定理は、求めなければならないものを含めて、角１つと辺３つで構成されています。
問１．△ABCにおいて、AC＝３、sinB＝２／５、sinC＝２／３のとき、ABの長さを求めよ。
＜１＞
これは、sinがあるので、正弦定理を使うのは、ミエミエなのですが、ちゃんと角２つ、辺２つになっていることを確認してください。
この場合ACがｂに、ABがｃにあたります。
（ACにはBがないのでｂ、ABにはCがないのでｃと、考えると楽です。）
＜２＞
３／（２／５）＝AB／（２／３）
３÷（２／５）＝AB÷（２／３）
３×（５／２）＝AB×（３／２）
１５／２＝３AB／２
３AB／２＝１５／２
AB＝１５／２ × ２／３
AB＝５
※最初なので、丁寧に途中式を書いてみました。
問２．△ABCにおいて、BC＝５、sinA＝３／４、AC＝３のとき、sinB及び外接円の半径を求めよ。
＜１＞
これも、正弦定理を使うことは、ミエミエです。
BCがａ、ACがｂに該当します。
＜２＞
５／（３／４）＝３／sinB
２０／３＝３／sinB
（２０／３）sinB＝３
sinB＝３×（３／２０）
sinB＝９／２０
※２０／３＝３／sinBの次に、
３／２０＝sinB／３としてもOKです。
＜３＞
続いて、外接円の半径を求めます。
２R＝５／（３／４）
２R＝２０／３
R＝１０／３
問３．△ABCにおいて、AB＝４、BC＝３、cosB＝１／６のとき、ACの長さを求めよ。
＜１＞
これは、cosがありますから、余弦定理になりますが、やはり、辺３つになっています。
ABがｃ、BCがａ、ACがｂにあたります。
＜２＞
AC２＝４２＋３２−２・４・３・１／６
AC２＝１６＋９−４
AC２＝２１
AC＝√２１
※長さに、マイナスはありませんから、答えは当然プラスのほうだけになります。
問４．△ABCにおいて、ａ＝√７、ｂ＝２、ｃ＝１のとき、∠Aの大きさを求めよ。
＜１＞
これは、辺が３つありますから、余弦定理を使います。
ただ、いきなり∠Aは求められませんから、とりあえずcos∠Aを出すことになります。
ですから、余弦定理の変形パターンを使うほうがよいと思います。
＜２＞
cosA＝（ｂ２＋ｃ２−ａ２）／２ｂｃ でしたよね。
cos∠A＝（２２＋１２−（√７）２）／２・２・１
cos∠A＝− １／２
cos60°が１／２になりますが、この場合はマイナスがありますから、−cos60°ということです。
cos（180°−θ）＝−cosθ という公式を覚えてますか？
ここでは、
cos（180°−60°）＝−cos60°
となりますから、180°−60°＝120°が答えになります。
問５．△ABCにおいて、AB＝２、BC＝３、∠ABC＝60°のとき、
（１）ACの長さを求めよ。
（２）△ABCの外接円の半径を求めよ。
＜１＞
（１）においては、AB、BC、ACと、辺が３つでてきますから、使うのは余弦定理になります。
ABがｃ、BCがａ、ACがｂになります。
あと、cos60°＝１／２ということは、計算前におさえておきましょう。
＜２＞
AC２＝２２＋３２−２・２・３・１／２
AC２＝７
AC＝√７
＜３＞
（２）は、「外接円の半径」ですから、正弦定理です。
ということで、sin∠ABC＝sin60°＝√３／２が必要になります。
ちなみに、∠ABCは、Bにあたります。
２R＝√７／（√３／２）
２R＝√７×（２／√３）
２R＝２√７／√３
R＝√７／√３＝√２１／３
問題演習
１．△ABCにおいて、B＝105°、C＝30°、ｃ＝２０のとき、ａの長さを求めよ。
２．△ABCにおいて、ａ＝５、ｂ＝８、C＝60°のとき、ｃの長さを求めよ。
３．△ABCにおいて、AB＝３、BC＝２、CA＝４のとき、
（１）cos∠ABCの値を求めよ。
（２）△ABCの外接円の半径を求めよ。
解 答
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