三角形の面積

数Ⅰミニマム講座　５．三角比　三角形の面積

　この講座も、いよいよ最後まで、きました。
　あともう少しです。(^^ゞ

　ここで、覚える必要のある公式は、１つです。

S＝１／２　ｂｃsinA
というものです。

※２つの辺と、その間にはさまれた角を使ったsinが、必要になります。

実は、もう一つ、ヘロンの公式という３辺を使った公式があるのですが、ここでは取り上げません。

理由１．
現在の指導要領では、「ヘロンの公式には、深入りしないように」となっています。
（使ってはいけないというわけではないので、実際は微妙なところですが。）

理由２．
３辺から面積を求めさせるような問題においても、ヘロンの公式を知らなくても解くことは可能です。
（多少、面倒には、なりますが。）
詳しくは、この後の問３．を、ご覧下さい。

問１．△ABCにおいて、∠A＝60°、AB＝６、AC＝10とするとき、△ABCの面積を求めよ。

＜１＞
これは、AB＝ｃ＝６、AC＝ｂ＝10、sin∠A＝sin60°＝√３／２ということですから、公式をそのまま使うだけです。

＜２＞
Ｓ＝１／２・６・１０・√３／２
Ｓ＝１５√３

問２．△ABCにおいて、AB=5、BC＝4、面積が５√３のとき、sinB及び∠Bの大きさを求めよ。

＜１＞
これは、AB＝ｃ＝５、BC＝ａ＝４、面積５√３を、公式に代入して式を作れば、sinBを求めることができます。

＜２＞
１／２・５・４・sinB＝５√３
１０sinB＝５√３
sinB＝√３／２

＜３＞
残りは、∠Bということですが、
sinB＝√３／２ということは、∠B＝60°です。

ただ、sin（180°－θ）＝sinθという公式がありましたよね。
ここでは、sin（180°－60°）＝sin120°＝sin60°＝√３／２ですから、
120°も答えになります。

答え：60°、120°

※三角形においては、特にことわりがない場合には、角の大きさは、0°＜θ＜180°で、考えてください。

問３．△ABCにおいて、AB＝13、BC＝15、CA＝14のとき、
（１）cosAを求めよ。
（２）△ABCの面積を求めよ。

＜１＞
この問題は、最終的には面積を求めるものです。
本来なら、３辺があるので、ヘロンの公式を適用してもおかしくない問題です。
ただ、上記の理由から、ヘロンの公式は使いませんので、この問題のような手順を踏むことになります。
（この問題も、ヘロンの公式を使わないようにという方針のもとに作られています。）

＜２＞
まずは、（１）からです。
AB＝ｃ＝13、BC＝ａ＝15、CA＝ｂ＝14で、
cosA＝（ｂ^２＋ｃ^２－ａ^２）／２ｂｃを使います。

cosA＝（１４^２＋１３^２－１５^２）／２・１４・１３
cosA＝５／１３

＜２＞
（２）は面積ですから、欲しいのは２辺にはさまれた角を使ったsin（ここでは、sinA）です。

cosAがわかってますから、sin^２θ＋cos^２θ＝１を使えば、sinAは求められます。
この場合は、sinAはプラスになります。

sin^２A＋（５／１３）^２＝１
sin^２A＝１４４／１６９
sinA＝１２／１３

＜３＞
いよいよ面積を求めます。
ｂ＝１４、ｃ＝１３、sinA＝１２／１３です。

Ｓ＝１／２・１４・１３・１２／１３＝８４

※以上のように、３辺から面積を求める場合には、
①cosθを求める。
②sinθを求める。
③公式を使う。
という手順になります。

問題演習

１．△ABCにおいて、AB＝５、BC＝７、CA＝８のとき、
（１）∠Aの大きさを求めよ。
（２）△ABCの面積を求めよ。

２．△ABCにおいて、ａ＝３、ｂ＝２で、面積が３√１５／４のとき、ｃの長さを求めよ。ただし、△ABCの全ての角は、鋭角とする。

解　答

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