数Tミニマム講座　３．三角比　基本定理

　ここでは、まず、三角比の基本定理で、要暗記公式を紹介し、そのあとで、具体的な使い方について解説、そして、問題演習とつながっていきます。

　重要事項は、赤字で表記してあります。これは、絶対に暗記してください。
　さらに、@、Aとあるものは、特に重要なものです。


@　sin２θ＋cos２θ＝１

この公式は、
・cos２θ＝１−sin２θ
・sin２θ＝１−cos２θ
と変形して、使う場合も、よくあります。


A　tanθ＝sinθ／cosθ

この公式を、覚えていれば、これ以降のtan関連の公式は、わざわざ暗記する必要がなくなります。

※この公式を使って計算していると、
cosθ／sinθ＝１／tanθ　となることがありますが、
１／tanθは、tanθをひっくり返したものです。

具体例をあげると、
tanθ＝３／５だとすると、１／tanθ＝５／３となります。
ただ、これだけのことですから、あわてないようにしましょう。


上記の@、Aを使って計算した際には、下にあげた表の内容を、併用することがありますので、ぜひ一緒に覚えておきましょう。
　　　sinθcosθtanθ
０°＜θ＜９０°＋＋＋
90°＜θ＜180°＋−−



ここにあげた公式は、使用頻度は、上記の公式ほどでは、ありませんが、必須項目です。

sin（90°−θ）＝cosθ
cos（90°−θ）＝sinθ

これは、用語の使い方としては、おかしいのですが、個人的には、
「90°で、サインとコサインは、入れ替わる」と覚えました。


sin（180°−θ）＝sinθ
cos（180°−θ）＝−cosθ

これも、用語の使い方としては、おかしいのですが、個人的には、
「180°で、サインそのまま、コサインマイナス」と覚えました。


ここにあげた公式は、あえて覚えなくても大丈夫なものです。

・tan（90°−θ）＝１／tanθ

tan（90°−θ）＝sin（90°−θ）／cos（90°−θ）
＝cosθ／sinθ＝１／tanθ
という具合に、ここまでにでてきた公式で導き出せるからです。

※覚えるのに、困難を感じない方は、覚えてもかまわないとは思いますが。


・tan（180°−θ）＝−tanθ

tan（180°−θ）＝sin（180°−θ）／cos（180°−θ）
＝sinθ／−cosθ＝−tanθ
という具合に、こちらも、導き出すことは可能です。

※覚えるのに、困難を感じない方は、覚えてもかまわないとは思いますが。


・１＋tan２θ＝１／cos２θ
この公式に関しては、あえて、これを使わないと解けない問題というのは、ほとんど見たことがありません。

１＋tan２θ＝１＋（sinθ／cosθ）２
＝１＋　sin２θ／cos２θ＝cos２θ／cos２θ＋sin２θ／cos２θ
＝（cos２θ＋sin２θ）／cos２θ＝１／cos２θ
となります。

※覚えるのに、困難を感じない方は、覚えてもかまわないとは思いますが。



ここからは、公式の使い方の解説に入ります。

問１．０°≦θ≦180°で、cosθ＝３／５のとき、sinθとtanθを求めよ。

＜１＞
cosθがプラスですから、sinθ、tanθもプラスになります。
（えっ？と思った方は、上の表を、ご覧下さい。）

＜２＞
まず、使う公式は、@sin２θ＋cos２θ＝１　です。
cosθとsinθとの関係を知りたいので、@ということです。

sin２θ＋（３／５）２＝１
これを解くと、sinθ＝４／５

＜３＞
次に、使う公式は、Atanθ＝sinθ／cosθ　です。
tanθが出ている公式は、Aですから。

tanθ＝（４／５）／（３／５）＝４／３


問２．０°＜θ＜180°で、tanθ＝−２のとき、cosθを求めよ。

＜１＞
tanθがマイナスですから、cosθもマイナスになります。

＜２＞
ここで、まず使う公式は、Atanθ＝sinθ／cosθです。
tanθが出ている公式は、Aですから。

sinθ／cosθ＝−２
これを変形すると、sinθ＝−２cosθ　となります。

＜３＞
次に使うのは、@sin２θ＋cos２θ＝１　です。

sinθ＝−２cosθですから
（−２cosθ）２＋cos２θ＝１
４cos２θ＋cos２θ＝１
５cos２θ＝１
cos２θ＝１／５
cosθ＝−１／√５（＝−√５／５）



問３．sinθ＋cosθ＝√２／２　のとき、sinθcosθの値を求めよ。

＜１＞
sinθとcosθがありますから、使う公式は、@sin２θ＋cos２θ＝１　です。 ただ、２乗がありませんので、このままでは使えません。

＜２＞
ということで、与えられた式を２乗します。

（sinθ＋cosθ）２＝（√２／２）２
sin２θ＋２sinθcosθ＋cos２θ＝１／２

sin２θ＋cos２θ＝１なので
１＋２sinθcosθ＝１／２
２sinθcosθ＝−　１／２
sinθcosθ＝−　１／４



問４．（sinθ−cosθ）２＋２cos２θ・tanθを簡単にせよ。

＜１＞
この問題には、sinθ、cosθ、tanθと勢ぞろいしていますが、Atanθ＝sinθ／cosθを使えば、sinθとcosθにしぼれます。 そうなると、@sin２θ＋cos２θ＝１　の出番ですよね。

＜２＞
（sinθ−cosθ）２＋２cos２θ・tanθ
＝sin２θ−２sinθcosθ＋cos２θ＋２cos２θ・sinθ／cosθ
＝１−２sinθcosθ＋２sinθcosθ
＝１



問５．関数ｆ（θ）＝cos２θ−２sinθ＋５の最大値を求めよ。
　ただし、０°≦θ≦180°とする。

＜１＞
ここで、考えることは、２つあります。
関数を、sinθにそろえるのか、cosθにそろえるのか、ということ。
そして、tanθがありませんから、@sin２θ＋cos２θ＝１を使うということです。

＜２＞
@sin２θ＋cos２θ＝１を変形させると、
・cos２θ＝１−sin２θ
・sin２θ＝１−cos２θ
の２つが、考えられます。

関数には、cos２θがありますから、使うのは、cos２θ＝１−sin２θのほうです。さっそく、関数に代入してしまいましょう。

ｆ（θ）＝１−sin２θ−２sinθ＋５
ｆ（θ）＝−sin２θ−２sinθ＋６
となります。

＜３＞
このままでも、計算はできるのですが、ｆ（θ）＝y、sinθ＝ｘとすると、やりやすくなります。

ｙ＝−ｘ２−２ｘ＋６

これって、２次関数の最大値ということですよね。

この場合、ｘの変域は、０≦ｘ≦１となります。
０°≦θ≦180°においては、０≦sinθ≦１です。

ちなみに、０°≦θ≦90°においては、
０≦sinθ≦１、０≦cosθ≦１、０≦tanθ≦∞

90°≦θ≦180°においては、
０≦sinθ≦１、−１≦cosθ≦０、−∞≦tanθ≦０

＜４＞
平方完成です。
−ｘ２−２ｘ＋６＝−（ｘ＋１）２＋７

よって、最大値は、ｘ＝０のときの６になります。
この段階で、？となった方は、関数の最大最小を復習してください。

実際は、ｘ＝０ということは、sinθ＝０ですから、θ＝０°、180°のときに最大値６ということになります。
最大値だけ聞かれているので、この問題では、ここまで考える必要はありませんが。


問題演習

１．tanθ＝３／４のとき、sinθとcosθの値を求めよ。
　ただし、０°≦θ≦180°とする。

２．cosθ＝１／２のとき、cos（90°−θ）とsin（90°−θ）の値を求めよ。
　ただし、０°≦θ≦90°とする。

３．cosθ／（１＋sinθ）＋tanθを簡単にせよ。

４．f（θ）＝sin２θ＋cosθの最大値と最小値を求めよ。

解　答　

目次に戻る
数Tミニマム講座目次に戻る
一つ前（２．関数　最大・最小）に戻る
次（４．三角比　正弦定理・余弦定理）に進む