数Tミニマム講座 ２．関数 最大・最小
最大・最小の問題は、結局は、２次関数の最大・最小にすぎません。
ですから、２次関数の最大・最小は、求められるというのが、最初のステップになります。
次に考えるべきポイントは、
１．ｘの変域を知る
２．いかにして、２次関数に持ちこむか
ということになります。
まずは、基本問題をやってみましょう。
最初は、２次関数が与えられていて、ｘの変域に制限がない場合です。
問１．ｙ＝２ｘ２＋８ｘ＋７の最小値を求めよ。
＜１＞まず、平方完成です。
そうすると、ｙ＝２（ｘ＋２）２−１ となり、
頂点は、（−２、−１）となります。
＜２＞頂点のｙ座標が、最小値となります。
答え：−１
※ｘ２の係数（前にある数字）が、正（プラス）の場合は、最小値がでます。
※ｘ２の係数（前にある数字）が、負（マイナス）の場合は、最大値がでます。
続いて、２次関数が与えられていて、ｘの変域に制限がある場合です。
問２．ｙ＝ｘ２−６ｘ−３において、ｘの変域が、−３≦ｘ≦４のときの、最大値と最小値を求めよ。
＜１＞まず、平方完成です。
そうすると、ｙ＝（ｘ−３）２−１２ となり、
頂点は、（３、−１２）となります。
＜２＞続いて、ｘの変域の両端の数（ここでは、−３と４）及び頂点のｘ座標の数を代入して、それぞれのｙを求めます。
ｘ＝−３のとき、ｙ＝２４
ｘ＝３のとき、ｙ＝−１２
ｘ＝４のとき、ｙ＝−１１
注意！
問題によっては、ｘの変域に頂点が含まれない場合もあります。
そのようなときには、頂点のｘ座標を代入しないでください。
＜３＞一番小さいｙが最小値に、一番大きいｙが最大値になります。
答え：最大値 ２４ 、最小値 −１２
いろいろ、ここからがヤマになります。
２次関数が与えられていなくて、ｘの変域も明示されていない場合です。
問３．ｘ、ｙは実数で、２ｘ２＋ｙ２＝２である。
このとき、ｘ＋ｙ２の最大値と最小値を求めよ。
＜１＞
この問題では、２次関数もありませんし、ｘの変域もわかっていません。
ですから、この２つをなんとかしなければなりません。
ただ、方法は一つしかありません。
まず、与えられた条件の２ｘ２＋ｙ２＝２を使います。
他に使えそうなものって、ありませんから・・・。
と言っても、このままでは使えないので、変形する。この一手です。
@ｙ２＝２−２ｘ２
A２ｘ２＝２−ｙ２
可能性があるのは、この２つです。どちらが使えると思いますか？
ｘ＋ｙ２のほうを見れば、ｙ２がありますよね。
ということで、@ｙ２＝２−２ｘ２を、ｘ＋ｙ２に代入できますので、してしまいましょう。
ｘ＋２−２ｘ２＝−２ｘ２＋ｘ＋２
となり、２次関数ができあがりました。
＜２＞
残る問題は、ｘの変域を知る、ことに絞られました。
今ある式は、ｙ２＝２−２ｘ２と、−２ｘ２＋ｘ＋２ですが、−２ｘ２＋ｘ＋２は２次関数そのもので、これから、ｘの変域を知ることはできません。
で、ターゲットは、ｙ２＝２−２ｘ２となります。
ここで、ｙは実数ですから、その２乗のｙ２は、マイナスになることは、ありません。
よって、ｙ２≧０
さらに、ｙ２＝２−２ｘ２ですから、
２−２ｘ２≧０となります。
これは、２次不等式ですから、解くことができます。
−１≦ｘ≦１が解いた結果です。
この形は、まさにｘの変域です。
これで、必要なものは、そろいました。
＜３＞
ここからは、問２．と同じパターンです。
−２ｘ２＋ｘ＋２＝−２（ｘ−１/４）２＋１７/８
頂点は、（１/４、１７/８）となります。
ｘの変域が、−１≦ｘ≦１ですから、
ｘ＝−１のとき、ｙ＝−１
ｘ＝１/４のとき、ｙ＝１７/８
ｘ＝１のとき、ｙ＝１
答え：最大値 １７/８、最小値 −１
問題演習
１．ｙ＝ｘ２−６ｘ （０≦ｘ≦４）において、
（１）ｘ＝（ @ ）のとき、最小値（ A ）となる。
（２）ｘ＝（ B ）のとき、最大値（ C ）となる。
２．ｘ、ｙは実数であり、ｘ２＋ｙ２＝４のとき、
４ｘ＋２ｙ２の最大値と最小値を求めよ。
３．２ｘ＋ｙ＝１のとき、２ｘ２＋ｙ２の最小値を求めよ。
４．ｙ＝（ｘ２−２ｘ−１）２−２（ｘ２−２ｘ−１）−１の最大値を求めよ。
ただし、０≦ｘ≦３とする。
解 答
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