８．２次方程式 数学の勉強部屋

２次方程式の解きかたは、大きく分けると３通りあります。
　�@解の公式：すべての２次方程式に対応。
　�A平方の形を利用：使える場合には便利。三平方の定理では、必須。
　�B因数分解：使える場合には便利。

＜解説＞
�@解の公式〜とにかく、これさえあれば、２次方程式はすべて解けます。

２次方程式　ａＸ^２＋ｂＸ＋ｃ＝０　の解は、

	−ｂ±√ｂ２−４ａｃ
Ｘ＝	―――――――――
	２ａ

　となります。注意！ｂ^２−４ａｃはすべて√の中にあります。

例題　Ｘ^２＋６Ｘ＋１＝０　を解きなさい。
　この場合、ａ＝１、ｂ＝６、ｃ＝１、ですから

Ｘ＝−６±√３６−４
２

注意！３６−４はすべて√の中にあります。

Ｘ＝−６±√３２
２

　　　　　　　　　　

Ｘ＝−６±４√２
２

ここでは、分子の−６と４、分母の２は、２ですべてを約分できます。
　Ｘ＝−３±２√２　これが答えになります。

ａはＸ^２の前の数字（符号も含む）、ｂはＸの前の数字（符号も含む）、ｃは残りの数字（符号も含む）になります。
　Ｘ^２−３Ｘ＝０ならば、ａ＝１、ｂ＝−３、ｃ＝０となります。
　Ｘ^２−４＝０ならば、ａ＝１、ｂ＝０、ｃ＝−４となります。

　※　ｂが−（マイナス）のときには、ミスしやすいので注意してください。


�A平方の形を利用〜印象はうすいのですが、本当はこれが基本の解き方です。

さっそく、具体例で見てみましょう。
　Ｘ^２＝１２　を解きなさい。
　Ｘ＝±√１２　→（左辺から）２乗をとったら、（右辺に）±√
　Ｘ＝±２√３　これが答えになります。

　２Ｘ^２−１６＝　を解きなさい。この場合には、
　２Ｘ^２＝１６
　Ｘ^２＝１６÷２
　Ｘ^２＝８
　Ｘ＝±√８　→（左辺から）２乗をとったら、（右辺に）±√
　Ｘ＝±２√２　これが答えになります。


�B因数分解〜便利なのは事実ですが、使えない場合もあるので、見極めが大事。

では、具体例です。
　Ｘ^２−７Ｘ＋６＝０　を解きなさい。
　左辺を因数分解すると、
　（Ｘ−１）（Ｘ−６）＝０　となります。 この式を成り立たせるための条件は、
　（Ｘ−１）＝０　または　（Ｘ−６）＝０　です。 それぞれを計算すると、

Ｘ−１＝０		Ｘ−６＝０
Ｘ＝０		Ｘ＝６

　Ｘ＝１、６　　これが答えになります。

　因数分解は便利なのですが、使えない場合もあることを忘れないようにしてください。 因数分解できない問題を、ああでもないこうでもない、と必死に因数分解しようとして、どつぼにはまるということは、よくあることですから・・・。

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