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角度というのは、いくつかの基本的なものを、組み合わせて使って求めていくものです。
まず、その基本から、始めましょう。
どことどこが、同じなのかというものが、多くなっています。
＜角度の基本＞
①直線は、１８０°
②三角形の内角の和は、１８０°※二等辺三角形の底角は等しい。
③錯角は等しい。（もちろん、平行線が必要です。）
④対頂角は等しい。
⑤中心角は円周角の２倍。＝円周角は中心角の１／２。
同じところから出ている円周角同士は、等しくなります。
⑥円に内接する四角形の、対角の和は１８０°
⑦接線と弦のつくる角。（接弦定理。）
説明がむずかしいので、図を見てください。^^;
ペイントで描いたもので、まるで子供の絵のようですが、(ｰｰ;)ご容赦ください。
問題演習その１
解答・解説
①平行線がありますから、錯角の利用を考えます。
∠ＧＦＤ＝∠ＥＨＦ＝４３°
よって、∠ＥＨＧ＝１８０°－４３°＝１３７°
△ＥＧＨにおいて、三角形の内角の和は１８０°なので
∠ＥＧＨ＝１８０°－（１７°＋１３７°）＝２６°
∠ＥＧＨと∠ＥＧＦとは、同じものですから、
答え：∠ＥＧＦ＝２６°
②平行線がありますから、考えることは錯角です。
しかし、このままでは、錯角がありません。
そこで、Ｆを通り、ＡＢやＣＤに平行な直線を、新たに引きます。
そうすると、
∠ＥＦＧの上の部分は、∠ＡＥＦの錯角となり、７０°
直線は１８０°より、∠ＣＧＦ＝１８０°－∠ＦＧＤ＝３０°
∠ＥＦＧの下の部分は、∠ＣＧＦの錯角となり、３０°
よって、
∠ＥＦＧ＝７０°＋３０°＝１００°
答え：∠ＥＦＧ＝１００°
問題演習その２
解答・解説
③ここで、目に付くのは、
三角形が２つということ、真中に対頂角があるということでしょうか。
△ＡＢＣにおいて、三角形の内角の和は１８０°なので
∠ＡＣＢ＝１８０°－（５５°＋４０°）＝８５°
よって、∠ＤＣＥ＝∠ＡＣＢ＝８５°（対頂角は等しい）
△ＣＤＥにおいて、三角形の内角の和は１８０°なので
∠ＣＤＥ＝１８０°－（８５°＋６０°）＝３５°
答え：∠ＣＤＥ＝３５°
④図形ＡＢＣＤは、実は、四角形です。四角形の内角の和は、３６０°です。
ここで、多角形の内角の和について、少しまとめてみます。
三角形（の内角の和）：１８０°
四角形（の内角の和）：３６０°
五角形（の内角の和）：５４０°
六角形（の内角の和）：７２０°
どういう法則があるのかは、もうわかりますね。
それでは、問題に戻ります。
先ほど書いた通り、図形ＡＢＣＤは四角形ですから、内角の和は３６０°です。
左側の∠ＡＤＣ（１８０°より大きいほうです）は、
∠ＡＤＣ＝３６０°－（４０°＋６０°＋３０°）＝２３０°
よって、この問題で聞かれているほうの∠ＡＤＣは、
３６０°－２３０°＝１３０°
答え：１３０°
問題演習その３
解答・解説
⑤いよいよ、円の登場ですが、
接線はありませんから、「接線と弦のつくる角」は関係なさそうです。
また、中心角もありませんから、「円周角＝中心角の半分」も、
使いそうな雰囲気はありません。
で、「内接する四角形」は、と思って見ると、ありますね。
どうやら、これは使いそうです。
聞かれているのは、∠ＢＣＤ、
「内接する四角形」と言えば、「対角の和は１８０°」
それでは、∠ＢＣＤの対角は？
∠ＢＡＤですよね。これが、わかればＯＫということです。
さらに、問題文には、
∠ＡＢＤ＝４５°、∠ＡＤＢ＝５５°とあり、
△ＡＢＤを使えと催促しているかのようです。
∠ＢＡＤ＝１８０°－（４５°＋５５°）＝８０°
∠ＢＣＤ＝１８０°－∠ＢＡＤ＝１００°
答え：∠ＢＣＤ＝１００°
⑥また、円の問題ですが、今度は、
「接線」もありますし、「中心角と円周角」もあります。
まず、∠ＯＢＣ＝３８°ということですが、
この角度は、ただ単に△ＯＢＣの１つの角にすぎません。
ということで、△ＯＢＣを詳しく見てみましょう。
辺ＯＢと辺ＯＣは、同じ長さです。
と言うのも、どちらも円の半径ですから。
つまり、△ＯＢＣは、二等辺三角形というわけです。
「二等辺三角形の底角は等しい」でしたよね。
∠ＯＢＣ＝∠ＯＣＢ＝３８°
よって、
∠ＢＯＣ＝１８０°－（３８°＋３８°）＝１０４°
∠ＢＯＣは、中心角でもあり、それに対応する円周角は、∠ＢＡＣです。
「円周角は、中心角の半分」ですから、
∠ＢＡＣ＝５２°
この∠ＢＡＣは、「接線と弦のつくる角」である∠ＣＢＦと等しくなります。
と言うことで、∠ＣＢＦ＝５２° これが、答えになります。
もちろん、次のように進めてもＯＫです。
求めたいのは∠ＣＢＦ。
∠ＣＢＦは、「接線と弦のつくる角」だから、∠ＣＢＦ＝∠ＢＡＣ
ところで、∠ＢＡＣは円周角で、対応する中心角は、∠ＢＯＣ。
よって、∠ＢＯＣは、∠ＢＡＣの２倍。
つまり、∠ＢＯＣがわかれば、∠ＣＢＦも求められる。
そして、∠ＢＯＣは、△ＯＢＣの１つの角。
△ＯＢＣは、・・・という感じのものです。
いくつかのヒント（手がかり）をもとに、犯人を追い詰めていく。
角度の問題を解く際には、そんな感じがしてしまいます。
「数学で、角度問題、解く際に、気分はなぜか、任三郎（おそまつ！）」
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