数学番外編　解説・解答


１．４２と１１２の最大公約数および最小公倍数を求めよ。

＜解説・解答＞
　最大公約数と最小公倍数は、正式な（？）解き方があるのですが、あまり出題されないものなので、覚えるのが簡単な方法でやってみます。

　最大公約数の問題：どんどん割っていく
　最小公倍数の問題：どんどんかけていく
　※この２つのことを覚えておいてください。

@最大公約数を求める。
　これは、どんどん割っていくのですが、割り切れない数のときは、抜かしてください。

　４２÷１＝４２
　４２÷２＝２１
　４２÷３＝１４
　４２÷４＝×
　４２÷５＝×
　４２÷６＝７
　・・・・・

　１１２÷１＝１１２
　１１２÷２＝５６
　１１２÷３＝×
　１１２÷４＝２８
　１１２÷５＝×
　１１２÷６＝×
　１１２÷７＝１６
　１１２÷８＝１４
　・・・・・

　で、同じ数字が出てきましたよね。
　最初に出てきたものが、最大公約数になります。

　答え：１４
　※この方法で、公約数が見つからない場合には、最大公約数は、「１」ということになります。

A最小公倍数を求める。
　これは、どんどんかけていくということです。

　４２×１＝４２
　４２×２＝８４
　４２×３＝１２６
　４２×４＝１６８
　４２×５＝２１０
　４２×６＝２５２
　４２×７＝２９４
　４２×８＝３３６
　４２×９＝３７８
　※実際には、かけ算するより、上の数字に、４２を足していくのが簡単です。

　１１２×１＝１１２
　１１２×２＝２２４
　１１２×３＝３３６
　１１２×４＝４４８
　※実際には、かけ算するより、上の数字に、１１２を足していくのが簡単です。

　答えは、もう、おわかりですよね。
　この場合の最小公倍数は、３３６ということになります。
　答え：３３６

　ちょっと、面倒な感じがするかもしれませんが、こういうタイプの問題は、出ても、せいぜい１問ですので・・。

２．３＜√ａ＜４を満たす自然数ａの個数を求めよ。

＜解説・解答＞
　ａ自体は普通の数字なのですが、√の中にある数字です。
　ですから、条件をそろえてしまいます。
　要するに３と４を√にしてしまうということです。
　３＝√９
　４＝√１６

　つまり、３＜√ａ＜４は、√９＜√ａ＜√１６となります。

　ａは、１０、１１、１２、１３、１４、１５ということになりますから、
　答え：６個

３．４０を割ると８余り、５０を割ると２余る自然数を求めよ。

＜解説・解答＞
　これは、そんなに難しい問題ではありません。

　４０を割ると８余り→これは、３２（４０−８ということです）なら割り切れるということです。
　５０を割ると２余る→これは、４８（５０−２ということです）なら割り切れるということです。

　３２を割り切れる数は、３２、１６、８、４、２、１です。
　４８を割り切れる数は、４８、２４、１６、１２、８、６、４、３、２、１です。

　１６と８と４と２と１が共通していますが、
　８余る数でなくてはならないので、８より大きい数となります。

　答え：１６
　※余りよりも、大きい数でなければならないというところが、この問題のポイントです。

４．ある正方形の一辺を２cm長くすると、面積は＝４４cm２大きくなった。
　　もとの正方形の面積を求めよ。

＜解説・解答＞
　これは、もとの正方形の面積を聞かれているのですが、面積をXにすると、式を作るのが非常に困難になります。
　もとの正方形の一辺の長さをXとすると、式が作りやすくなります。
　ただ、Xを求めても、それは、あくまで、一辺の長さで、問われている面積ではありませんから、Xを求めて安心するのではなくて、ちゃんと面積を求めてくださいね。

　もとの正方形の一辺の長さをXとすると、面積は、X２となります。
　大きい正方形の一辺の長さは（X＋２）ですから、面積は、（X＋２）２となります。

　で、X２＝（X＋２）２−４４
　という式が成り立ちます。

　これを解くと、X＝１０となります。
　面積は、X２ですから、１０２＝１００

　答え：１００cm２

５．連続した３つの自然数がある。
　　もっとも大きい数の２乗は、他の２つの数の積の２倍より２０小さい。
　　この３つの自然数を求めよ。

＜解説・解答＞
　この場合、３つの数があります。
　大、中、小ということです。

　小を、Xとすると、中は、X＋１、大は、X＋２となります。
　（中をXとすると、小は、X−１、大は、X＋１なんていうのもＯＫです。）

　もっとも大きい数の２乗は、(X＋２)２
　他の２つの数の積は、X(X+1)
　　その２倍は、２X(X+1)です。

　で、小さいほうに２０を足すか、大きいほうから２０を引けば、イコールで結べます。

　(X＋２)２＝２X(X+1)−２０

　これを解くと、X＝−４、６となりますが、Xは自然数ですから、マイナスの答えは、不採用ということになります。
　よって、X、つまり、一番小さい数は６、中は７、大は８、が答えです。

　答え：６、７、８

６．２けたの整数がある。
　　その整数は、一の位の数の９倍より４大きく、十の位の数と一の位の数とを入れ換えてできる整数は、もとの整数より９大きい。
　　もとの整数を求めよ。

＜解説・解答＞
　これは、十の位をX、一の位をYとする（あるいは、十の位をY、一の位をXとする）ことは、思い浮かぶと思います。
　こういうタイプでは、ポイントは一つです。
　十の位は、１０倍するということだけです。

　例えば、３４というのは、３と４から成り立っていますが、実際は、３０と４ということです。
　十の位の数字は３、ということは、本当は３０ということですよね。
　気をつけるのは、このことだけです。

　十の位をX、一の位をYとして、やってみましょう。
　（この場合、文字を２つ使うことになりますから、連立方程式にする必要があります。つまり、式を２つ作らなければならないということです。）

　もとの整数というのは、１０X＋Y
　で、一の位の数の９倍というのは、９Y
　　もとの整数のほうが、４大きいということですから、大きいほうから４を引くか、小さいほうに４を足すかすれば、イコールで結べます。

　１０X＋Y＝９Y＋４　これを連立方程式で解きやすい形に直すと、
　１０X−８Y＝４・・・・@

　続いて、十の位の数と一の位の数とを入れ換えてできる整数ですが、
　これは、X＋１０Y
　で、もとの整数は、１０X＋Y
　　入れ換えた整数のほうが９大きいということですから、大きいほうから９を引くか、小さいほうに９を足すかすれば、イコールで結べます。

　X＋１０Y＝１０X＋Y＋９　これを連立方程式で解きやすい形に直すと、
　−９X＋９Y＝９　これは、このままでも良いのですが、両辺を９で割ると、
　−X＋Y＝１　　さらに、
　X−Y＝−１・・・・Aとすると、あとあとやりやすいと思います。

　@Aの連立方程式を解くと、
　X＝６、Y＝７となります。

　聞かれていたのは、もとの整数ということですから、
　答え：６７

７．√７の整数部分をａ、小数部分をｂとするとき、ａとｂの値を、それぞれ求めよ。

＜解説・解答＞
　これって、いきなり見ると、おそらく途方にくれると思います。
　でも、一度やっておけば、難しくはないのが、わかるのでは、という気がします。

　まずは、以下をご覧ください。
　１＝√１
　２＝√４
　３＝√９
　４＝√１６
　・・・・・

　√７は、√４と√９の間にありますよね。
　ということは、２と３の間ということです。

　つまりは、√７というのは、２．×××・・ということです。

　よって、整数部分は、「２」ということになります。
　答え：ａ＝２

　ここまでは、いいのですが、小数部分というのが難しそうですよね。
　でも、実は、簡単です。

　整数部分と小数部分からなる数字というのは、
　その数字から、整数部分を除けば、小数部分だけになります。

　この問題では、その数字というのは、√７
　整数部分は、２
　よって、小数部分は、√７−２　ということです。
　答え：ｂ＝√７−２

　小数部分といっても、小数で答えなければならない、というわけではないんですよね。

８．連続する３つの正の整数がある。
　　一番大きい整数の平方と一番小さい整数の平方との差は、残りの数の平方に等しい。
　　この３つの整数を求めよ。

＜解説・解答＞
　これは、５番の問題と基本的には、同じ考えかたです。

　一番小さい整数をX、真ん中の整数をX＋１、一番大きい整数をX＋２、とします。

　一番大きい整数の平方は、(X＋２)２
　一番小さい整数の平方は、X２
　　この２つの差は、(X＋２)２−X２

　残りの数の平方は、(X＋１)２

　よって、(X＋２)２−X２＝(X＋１)２
　となります。
　これを解くと、
　−X２＋２X＋３＝０

　このまま解いてもいいのですが、
　両辺に、−１をかけて、
　X２−２X−３＝０
　としたほうが、やりやすいように思います。
（見た目は変わりませんが、０にも、−１をかけていますからね。）

　X＝−１、３
　しかし、問題文に、「正」の整数と書いてありますから、−１は不採用になります。
　また、Xは一番小さい整数ですから、真ん中の整数は４、一番大きい整数は５になります。
　答え：３、４、５

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