４．三角比　正弦定理・余弦定理　解　答

１．△ABCにおいて、B＝105°、C＝30°、ｃ＝２０のとき、ａの長さを求めよ。

＜１＞
これは、辺２つですから、正弦定理なのですが、ａを出すためには、Aが必要になります。
三角形の内角の和は、180°ですから、A＝45°になります。
sinA＝sin45°＝１／√２、sinC＝sin30°＝１／２です。

＜２＞
ａ／（１／√２）＝２０／（１／２）
√２ａ＝４０
ａ＝４０／√２
ａ＝４０√２／２
ａ＝２０√２

答え：２０√２

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２．△ABCにおいて、ａ＝５、ｂ＝８、C＝60°のとき、ｃの長さを求めよ。

＜１＞
これは、辺３つなので、余弦定理です。
cosC＝cos60°＝１／２です。

＜２＞
ｃ^２＝５^２＋８^２−２・５・８・１／２
ｃ^２＝４９
ｃ＝７

答え：７

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３．△ABCにおいて、AB＝３、BC＝２、CA＝４のとき、
　（１）cos∠ABCの値を求めよ。
　（２）△ABCの外接円の半径を求めよ。

＜１＞
（１）は、余弦定理の変形パターンですよね。
∠ABCはB、AB＝ｃ＝３、BC＝ａ＝２、CA＝ｂ＝４です。

cos∠ABC＝（３^２＋２^２−４^２）／２・３・２
cos∠ABC＝−　１／４

（１）の答え：−　１／４

＜２＞
（２）は、「外接円の半径」ですから、正弦定理です。
ただ、sinがありませんから、事前に求めなければなりません。
使うのは、�@sin^２θ＋cos^２θ＝１です。
※sinはプラスになります。

sin^２∠ABC＋（−１／４）^２＝１
sin^２∠ABC＝１５／１６
sin∠ABC＝√１５／４

＜３＞
２R＝４／（√１５／４）
２R＝１６／√１５
R＝８／√１５＝８√１５／１５

（２）の答え：８／√１５（８√１５／１５）

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