３．三角比 基本定理 解 答
１．tanθ＝３／４のとき、sinθとcosθの値を求めよ。
ただし、０°≦θ≦180°とする。
＜１＞
この場合、tanθがプラスですから、sinθとcosθもプラスになります。
＜２＞
tanθがありますから、まず使う公式はAtanθ＝sinθ／cosθです。
sinθ／cosθ＝３／４
sinθ＝３／４ cosθ＝３cosθ／４
＜３＞
ここで、@sin２θ＋cos２θ＝１の登場です。
（３cosθ／４）２＋cos２θ＝１
２５／１６ cos２θ＝１
cos２θ＝１６／２５
cosθ＝４／５
＜４＞
再び、@sin２θ＋cos２θ＝１の登場です。
sin２θ＋（４／５）２＝１
sin２θ＝９／２５
sinθ＝３／５
答え：sinθ＝３／５、cosθ＝４／５
※こんな裏ワザもあります。
tanθ＝３／４ですから、底辺４、高さ３の直角三角形を描きます。
三平方の定理で求めると、斜辺は５です。
これから、sinθ＝３／５、cosθ＝４／５とわかります。
sinθ、cosθ、tanθが全てプラスのときには、このパターンが使えます。
２．cosθ＝１／２のとき、cos（90°−θ）とsin（90°−θ）の値を求めよ。
ただし、０°≦θ≦90°とする。
＜１＞
sin（90°−θ）＝cosθですから、sin（90°−θ）は、いきなり１／２とわかってしまいます。
律儀に、書いてある順番どおりにやる必要はありませんので。
＜２＞
cos（90°−θ）については、cos（90°−θ）＝sinθですから、sinθを求めなくてはなりません。
@sin２θ＋cos２θ＝１を使います。
sin２θ＋（１／２）２＝１
sin２θ＝１−１／４
sin２θ＝３／４
sinθ＝√３／２
答え：cos（90°−θ）＝√３／２、sin（90°−θ）＝１／２
※ここでも、上記の裏ワザが使えます。
cosθ＝１／２ですから、斜辺２、底辺１の直角三角形になり、三平方の定理で高さ√３。
で、sinθ＝√３／２です。
３．cosθ／（１＋sinθ）＋tanθを簡単にせよ。
＜１＞
tanθについては、もうAtanθ＝sinθ／cosθしかありませんが、問題はcosθ／（１＋sinθ）の特に１＋sinθの部分ですよね。
これに近い形を、どこかで見た覚えがありませんか？
そうです。sin２θ＋cos２θ＝１の変形パターンのcos２θ＝１−sin２θです。
なんとかして、このパターンに持ちこむ、それが必要になりますが、
実は、１−sin２θ＝（１＋sinθ）（１−sinθ）なんです。
ということで、cosθ／（１＋sinθ）の分子と分母にそれぞれ（１−sinθ）を掛けてあげます。
（cosθ−sinθcosθ）／（１−sin２θ）＝（cosθ−sinθcosθ）／cos２θ
となりました。
＜２＞
cosθ／（１＋sinθ）＋tanθ＝（cosθ−sinθcosθ）／cos２θ＋sinθ／cosθ
これは、分数の足し算ですから、通分します。
（cosθ−sinθcosθ）／cos２θ＋sinθcosθ／cos２θ
＝cosθ／cos２θ
＝１／cosθ
答え：１／cosθ
４．f（θ）＝sin２θ＋cosθの最大値と最小値を求めよ。
ただし、０°≦θ≦180°とする。
＜１＞
これは、前ページの最後の問題と解き方は同じです。
で、ここからはポイントだけ書いていきます。
sin２θ＝１−cos２θですから、
f（θ）＝１−cos２θ＋cosθ
f（θ）＝−cos２θ＋cosθ＋１
＜２＞
ここで、f（θ）＝ｙ、cosθ＝ｘと置き換えます。
ただし、−１≦ｘ≦１であることを忘れずに！
＜３＞
ｙ＝−ｘ２＋ｘ＋１
平方完成すると、
ｙ＝−（ｘ−１／２）２＋５／４
最大値 ５／４
最小値 −１
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